Laboratorio Relativistico

Esperimento 01

Incrocio a velocità relativistiche

Due astronavi, I ed L, si vengono incontro, ciascuna a una frazione di c rispetto a un osservatore esterno. Che velocità si misurano a vicenda — e quanto dura, sul tuo orologio, veder passare l'astronave dell'altro?

v di I (rispetto a un esterno)0.80 c

v di L (rispetto a un esterno)0.80 c

Lunghezza a riposo dell'astronave di L1000 m

◀ I v_rel → 0.976 c L ▶

a riposo (misurata da L stesso)

misurata da I (contratta)

v₁ (I rispetto a esterno)

0,800 c

v₂ (L rispetto a esterno)

0,800 c

somma classica v₁+v₂ (sbagliata)

1,600 c

v_rel = (v₁+v₂)/(1+v₁v₂/c²)

0,976 c

γ alla velocità relativa

4,556

lunghezza di L misurata da I

219,5 m

tempo di transito sul tuo orologio

750,5 ns

Esperimento 02

Le trasformazioni di Lorentz

Un evento — un punto preciso nello spazio e nel tempo — visto da due osservatori in moto relativo. Il diagramma di Minkowski è lo strumento vero con cui i fisici leggono questa roba: assi obliqui, non un trucco grafico.

x′ = γ(x − v t)

t′ = γ(t − v x / c²)

γ = 1 / √(1 − v²/c²)

Unità naturali usate nel diagramma: x in secondi-luce, t in secondi, c = 1 — così la luce viaggia sempre esattamente a 45°.

La scena — chi vede cosa

La nave è disegnata dove si trova, secondo E, proprio nell'istante t. L'evento (il lampo) è fermo sulla riga di E — quello che cambia è come i due lo leggono, nelle caselle sopra.

v di S′ rispetto a S0.60 c

x dell'evento (secondi-luce)3.0 sl

t dell'evento (secondi)1.0 s

Lo stesso identico calcolo, nella versione che usano davvero i fisici — il diagramma di Minkowski, assi obliqui inclusi. Prenditela con calma, non serve capirlo oggi.

assi neri = S (fermo) · assi blu = S′ (in moto a v) · linee tratteggiate ambra = cono di luce

1,250

x (in S)

3,0 sl

t (in S)

1,0 s

x′ (in S′)

1,5 sl

t′ (in S′)

−1,0 s

Esperimento 03

Il paradosso dei gemelli

I parte per una stella a distanza D, torna indietro. E resta a terra. Le barbe di entrambi crescono al proprio tempo proprio — qui sotto vedi esattamente quanto, e come mai vedersi in slow-motion e in fast-forward non torna con "chi invecchia meno". Spingi v fino a 0.999c: è il limite del fotone, per cui il tempo proprio non passa affatto — e il Doppler in avvicinamento va all'infinito.

Distanza della stella8.0 anni luce

Velocità di crociera di I0.80 c

si allontanano — redshift, si vedono al rallentatore si avvicinano — blueshift, si vedono in fast-forward

E — resta a Terra20,0 anni

segnale ricevuto

I — parte e torna12,0 anni

giro di boa

Anni vissuti da E

20,0

Anni vissuti da I

12,0

Differenza

8,0

Fattore Doppler k

3,00

Alla velocità di crescita adottata in laboratorio (1 cm/anno): a fine viaggio la barba di E è lunga 20,0 cm, quella di I 12,0 cm.

giro di boa di I (tempo proprio di I)

6,0 anni

giro di boa, in tempo di E

10,0 anni

quando E ne vede il segnale

18,0 anni

Formulario

Le sei righe che servono

Composizione velocità: v = (v₁+v₂) / (1 + v₁v₂/c²)
Fattore di Lorentz: γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Contrazione delle lunghezze: L = L₀ / γ
Dilatazione del tempo: Δt = γ·Δτ
Trasformazioni di Lorentz: x′ = γ(x − vt) · t′ = γ(t − vx/c²)
Doppler relativistico: k = √((1+β)/(1−β)), β = v/c